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Sobre
Nestas notas, introduziremos os conceitos de proposição, predicados e conectivos , os quais serão a base de toda nossa discussão futura.
Conceitos Primitivos
A Matemática trata da definição, construção e estudo de conceitos. Novos conceitos são definidos e novas construções são realizadas partindo-se de conceitos preexistentes. Isso significa que para fazer Matemática são necessários certos conceitos iniciais, os quais se assume existentes a priori, e que não são construídos por nenhum outro conceito prévio. Tais conceitos são chamados de primitivos. Tratam-se do ponto de partida para desenvolver nova Matemática.
Diferentes escolas estudam os fundamentos da Matemática de diferentes maneiras, assumindo como primitivos diferentes conceitos. Para nossa discussão futura, é suficiente que assumamos como primitivos conceitos bastante intuitivos (mais filosoficamente bastante complexos), como:
algo ser verdadeiro ou ser falso;
o ato de contar;
algo ser um símbolo;
algo ter uma dependência de certos símbolos.
Afirmações
Para nós, afirmações (também chamadas de proposições) são símbolos especiais :tex p, q, …: os quais se apresentam como verdadeiros ou falsos. Isso significa que, para uma afirmação, não há meio termo: ou é uma verdade ou não a é.
Símbolos e Relações
Dados símbolos :tex x, y, z, …:, pensamos em uma relação entre eles como sendo uma afirmação que depende de :tex x, y, z:.
Notation. Se :tex \varphi: é um relação, escrevemos :tex \varphi(x, y, z, …): para representar o fato de que os símbolos :tex x, y, z, …: se relacionam através dela. Isto é, que a afirmação :tex \varphi: é verdadeira para os símbolos :tex x, y, z, …:.
Observação 1. Diferentes símbolos podem (ou não) se relacionar através de uma mesma relação. Em outras palavras, uma afirmação :tex \varphi(x, y, z, …): pode ser verdadeira para certos símbolos, mas falsa para outros. Assim: relações entre símbolos são independentes de símbolos específicos.
Relações :tex n:-árias
Lembre-se que estamos assumindo como primitivo o ato de contar símbolos. Isso significa que sentenças como “dados dois símbolos”, ou como “dada uma relação entre três símbolos” fazem sentido.
Com a possibilidade de contagem, podemos definir classes particulares de relações:
Definition 1. Uma relação :tex \varphi: entre símbolos é dita ser de grau :tex n: (ou :tex n:-ária) se ela é uma relação entre precisamente :tex n: símbolos.
Assim, em uma relação de grau :tex n:, a expressão :tex \varphi(x_1, x_2, …, x_n): só faz sentido para dados :tex n: símbolos :tex x_1, x_2, …, x_n:.
Um caso bastante particular é o das relações de grau 2, também chamadas de relações binárias (ao invés de 2-árias).
Notation. Se :tex \varphi: é uma relação binária, costuma-se escrever :tex x\varphi y: ao invés de :tex \varphi(x, y):. Esse tipo de notação é chamada de notação infixa.
Tem-se, ainda, as relações unárias (também chamadas de modalidades), que são aquelas de grau 1.
Notation. Se :tex \varphi: é uma relação unária, costuma-se escrever :tex \varphi x: ou :tex x \varphi: (a depender da relação) no lugar de :tex \varphi(x):.
Exercise 1. Você consegue imaginar o que seria uma relação 0-ária?
Conectivos
Uma classe particular de relações são os conectivos: tratam-se, pois, de relações que não ocorrem entre símbolos arbitrários, mas sim entre afirmações.
Assim, em outras palavras:
Definition 2. Um conectivo é uma afirmação que depende de outras afirmações.
Todo conectivo é uma relação, de modo que faz sentido falar de conectivos de grau :tex n:, os quais são afirmações que dependem precisamente de outras :tex n: afirmações.
Em especial, podemos falar de conectivos unários (ou de de grau 1) e de conectivos binários (ou de grau 2).
Exemplos
Apresentamos, agora, os principais exemplos de conectivos.
O primeiro exemplo nos permite considerar o oposto (ou negação) de uma proposição.
Example 1 (negação). Tem-se um conectivo unário :tex \neg: chamado de negação. A relação :tex \neg p: se caracteriza pelo fato de que se :tex p: é uma afirmação verdadeira (resp. falsa), então :tex \neg p: é uma afirmação falsa (resp. verdadeira).
Observação 2. Se uma afirmação :tex p: é verdadeira, então sua negação :tex \neg p: é falsa. Isso significa que para definir uma proposição, basta dizer as condições sob as quais ela é verdadeira. Afinal, as condições para que seja falsa serão as mesmas condições para que seja verdadeira, mas aplicadas à sua negação.
Outros exemplos de conectivos são a conjunção e a disjunção (denotadas, respectivamente, por :tex \wedge: e :tex \vee:).
Example 2 (conjunção). Dadas duas proposições :tex p, q:, a conjunção entre elas é a afirmação :tex p \wedge q: caracterizada pelo fato de ser verdadeira precisamente quando :tex p: e :tex q: são verdadeiras ou quando ambas são falsas.
Example 3 (disjunção). Em contrapartida, a disjunção entre :tex p, q: é a afirmação :tex p \vee q: que é verdadeira se ao menos uma afirmação entre :tex p: e :tex q: é verdadeira.
Outro exemplo de conectivo binário é a implicação (:tex \to:).
Example 4 (implicação). Diz-se que uma proposição :tex p: implica outra proposição :tex q: (escrevendo-se :tex p \to q:) se o fato de :tex p: ser verdadeira é suficiente para se concluir que :tex q: é também verdadeira.
Por fim, temos o exemplo da implicação mútua.
Example 5 (implicação mútua). Duas proposições :tex p, q: estão relacionadas por implicação mútua (escrevendo-se :tex p \leftrightarrow q:) quando ambas são verdadeiras ou quando ambas são falsas. Em outras palavras, :tex p \leftrightarrow q: é verdadeira (resp. falsa) precisamente quando tanto :tex p: quando :tex q: são verdadeiras (resp. falsas).
Conectivos Derivados
Podemos definir novos conectivos a partir de conectivos já existentes. Por exemplo, dado o conectivo binário :tex \wedge: e o conectivo unário :tex \neg:, podemos definir dois novos conectivos :tex \neg\wedge: e :tex \wedge \neg:, tais que:
:tex p (\neg\wedge) q: é verdadeiro precisamente quando :tex (\neg p)\wedge q: é verdadeiro
:tex p (\wedge \neg) q: é verdadeiro precisamente quando :tex p \wedge (\neg q): é verdadeiro.
Exercise 2)). Divirta-se definindo novos conectivos derivados.
Equivalência
Diferentes conectivos podem ser equivalentes entre si.
Definition 3. Dois conectivos :tex \alpha: e :tex \beta, …: são ditos serem equivalentes se:
possuem o mesmo grau, isto é, são ambos :tex n:-ários para um mesmo :tex n:;
para quaisquer sejam as proposições :tex p_1, p_2, …, p_n:, tem-se uma relação de implicação mútua entre :tex \alpha(p_1, p_2, …, p_n): e :tex \beta(p_1, p_2, …, p_n):.
Notation. Se dois conectivos :tex \alpha, \beta: são equivalentes, escreve-se :tex \alpha \equiv \beta:.
Os seguintes exercícios nos ensinam equivalentes formas de mostrar que duas proposição estão relacionadas por implicação mútua.
Convença-se de que, independente de quais forem as proposições :tex p, q:, tem-se uma relação de implicação mútua entre :tex p \to q: e :tex (\neg q) \to (\neg p):.
Defina um conectivo derivado :tex \to_\neg: que represente :tex(\neg q) \to (\neg p):.
Conclua que :tex \to: e :tex \to_\neg: são equivalentes.
Exercise 4. Partindo do exercício anterior:
Mostre que :tex p \leftrightarrow q: se relaciona via implicação mútua com :tex (p \to q)\wedge (\neg p \to \neq q ):.
Defina um conectivo derivado :tex \to_{\wedge,\neg}: para :tex (p \to q)\wedge (\neg p \to \neq q ):.
Conclua que :tex \leftrightarrow \equiv \to_{\wedge,\neg}:.
Mostre que há também uma implicação mútua entre :tex p \leftrightarrow q: e :tex (p \wedge q) \vee ((\neg p) \wedge (\neg q)):.
Defina um conectivo derivado para :tex (p \wedge q) \vee ((\neg p) \wedge (\neg q)):.
Conclua que ele é equivalente ao conectivo :tex \leftrightarrow:.